Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）证明：平面EFG⊥平面PAD；
（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）运用面面平行的判定定理，先证线面平行，即可得到证明；
（2）由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理，即可得证；
（3）Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．运用线面垂直的判定定理即可得到结论．

解答 证明：（1）E，F分别是线段PC，PD的中点，所以EF∥CD，
又ABCD为正方形，AB∥CD，
所以EF∥AB，
又EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB．
因为E，G分别是线段PC，BC的中点，所以EG∥PB，
又EG?平面PAB，所以，EG∥平面PAB．
所以平面EFG∥平面PAB；
（2）因为CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以平面EFG⊥平面PAD；
（3）Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．
取PB中点Q，连接DE，EQ，AQ，
由于EQ∥BC∥AD，所以ADEQ为平面四边形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，所以AD⊥平面PDC，
所以AD⊥PC，
又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，所以DE⊥PC，
AD∩DE=D，所以PC⊥平面ADQ．

点评 本题考查线面位置关系的证明，主要是面面平行和面面垂直、以及线面垂直的证明，注意运用转化思想，考查推理能力，属于中档题．