Question

17．已知函数f（x）=αx-lnx（α∈R）．
（I）α=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的图象恒在x轴上方．求α的取值范围；
（Ⅲ）证明：2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （I）先求函数f（x）的导数，然后利用导函数的正负求x的范围即可；
（Ⅱ）α＞0，f（x）的单调减区间是（0，$\frac{1}{α}$），单调增区间是（$\frac{1}{α}$，+∞），f（x）_min=f（$\frac{1}{α}$）=1+lnα＞0，即可求α的取值范围；
（Ⅲ）构造函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，g（x）的单调减区间是（e，+∞），即可证明：2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵．

解答 （I）解：α=1时，∵f（x）=x-lnx，∴f'（x）=$\frac{x-1}{x}$
令f'（x）＜0，则0＜x＜1，f'（x）＞0，x＞1
∴f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）；
（Ⅱ）解：f'（x）=$\frac{αx-1}{x}$，
α≤0，f'（x）＜0，f（x）的图象不恒在x轴上方；
α＞0，f（x）的单调减区间是（0，$\frac{1}{α}$），单调增区间是（$\frac{1}{α}$，+∞），∴f（x）_min=f（$\frac{1}{α}$）=1+lnα＞0
∴α＞$\frac{1}{e}$，
∴α＞$\frac{1}{e}$时，f（x）的图象恒在x轴上方；
（Ⅲ）证明：构造函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴g（x）的单调减区间是（e，+∞）
∴$\frac{ln2015}{2015}＞\frac{ln2016}{2016}$
∴2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最小值，正确求导数是关键．