Question

6．求到定点F（c，0）（c＞0）和它到定直线l：x=$\frac{{c}^{2}}{a}$距离之比是$\frac{c}{a}$（$\frac{c}{a}$＞1）的点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出M的坐标，得到MF的距离与M到定直线的距离，由题意列式并化简得答案．

解答 解：设M（x，y），则|MF|=$\sqrt{（x-c）^{2}+（y-0）^{2}}$，
M到定直线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$的距离d=|$\frac{{a}^{2}}{c}-x$|，
则由题意可得$\frac{\sqrt{（x-c）^{2}+{y}^{2}}}{|\frac{{a}^{2}}{c}-x|}=\frac{c}{a}$，
整理得：（c²-a²）x²-a²y²=a²（c²-a²）．
∵$\frac{c}{a}$＞1，令b²=c²-a²＞0，
则b²x²-a²y²=a²b²，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了双曲线的第二定义，是中档题．