Question

7．已知圆x²+y²+8x-4y=0与圆x²+y²=20关于直线y=kx+b对称，
（1）求k、b的值；
（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数．

Answer 1

分析 （1）求出两圆的圆心坐标，进而求得两圆的圆心的中垂线的方程，根据直线y=kx+b即为OA的中垂线，求出k与b的值．
（2）公共弦所在的直线2x-y+5=0，利用点到直线的距离公式求出弦心距d，由cos $\frac{∠AOB}{2}$=$\frac{d}{r}$ 求得 $\frac{∠AOB}{2}$的值，即可得到∠AOB的度数．

解答 解：（1）圆x²+y²+8x-4y=0即（x+4）²+（y-2）²=20，表示以A（-4，2）为圆心，以2$\sqrt{5}$ 为半径的圆．
圆x²+y²=20的圆心为O（0，0），半径等于2$\sqrt{5}$，
故OA的中点为C（-2，1），OA的斜率为$\frac{1-0}{-2-0}$=-$\frac{1}{2}$，故OA的中垂线的斜率等于2，
故OA的中垂线的方程为 y-1=2（x+2），即 y=2x+5．
由题意可得，直线y=kx+b即为OA的中垂线，故k与b的值分别等于2和5，
（2）由上可知，直线y=kx+b即y=2x+5，即2x-y+5=0，且此直线是公共弦所在的直线．
弦心距为d=$\frac{|0-0+5|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，故cos$\frac{∠AOB}{2}$=$\frac{d}{r}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{∠AOB}{2}$=60°
故∠AOB=120°．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，两点关于某直线对称的性质，属于中档题．