Question

下列几个命题：
①“

a＞0 △=b2-4ac≤0

”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”的充要条件；
②设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称；
③若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=

π

2

+kπ（k∈Z）；
④已知x∈（0，π），则y=sinx+

2

sinx

的最小值为2

2

．  
其中正确的有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①由一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R?

a＞0 △=b2-4ac≤0

，可判断①的正误；
②利用函数的对称轴可判断②的正误；
③利用正弦函数与余弦函数的奇偶性质可判断③的正误；
④x∈（0，π）⇒0＜sinx≤1，令t=sinx（0＜t≤1），g（t）=t+

2

t

（0＜t≤1），利用双钩函数的单调性与最值可求得g（t）_min=g（1）=3，可判断④的正误．

解答： 解：①

a＞0 △=b2-4ac≤0

⇒一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R，即充分性成立；
反之，一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R，则

a＞0 △=b2-4ac≤0

，即必要性成立；
所以“

a＞0 △=b2-4ac≤0

”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R”的充要条件，即①正确；
②设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称，正确；
③若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=

π

2

+kπ（k∈Z），正确；
④∵x∈（0，π），
∴0＜sinx≤1，令t=sinx（0＜t≤1），g（t）=t+

2

t

（0＜t≤1），当0＜t≤1时，g′（t）=1-

2

t2

＜0，
双钩函数g（t）=t+

2

t

在（0，

2

]单调递减，
∴g（t）_min=g（1）=3，
∴y=sinx+

2

sinx

的最小值为3，故④错误．  
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的对称性、单调性及最值及恒成立问题，考查充分必要条件的概念，属于中档题．