Question

10．设a∈R，函数f（x）=ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1，g（x）=e^x（e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）证明：存在一条定直线l与曲线C₁：y=f（x）和C₂：y=g（x）都相切；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）对x∈R恒成立，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义即可出切线方程，问题得以证明；
（Ⅱ）转化为F（x）=（ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1）e^-x，则对任意x∈R，都有F（x）≤1，构造函数，利用导数求出最值，即可得到a的值．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1，g（x）=e^x，
∴f′（x）=3ax²+x+1，g′（x）=e^x，
注意到对任意a∈R，f（0）=g（0）=1，f′（0）=g′（0）=1，
故直线l：y=x+1与曲线C₁：y=f（x）和C₂：y=g（x）都相切，
（Ⅱ）设F（x）=（ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1）e^-x，则对任意x∈R，都有F（x）≤1，
因对任意a∈R，都有F（0）=0，
故x=0为F（x）的极大值点，
F′（x）=（3ax²+x+1）e^-x-（ax³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+x+1）e^-x=（-ax+3a-$\frac{1}{2}$）x²e^-x，
记h（x）=-ax+3a-$\frac{1}{2}$，
则F′（x）=h（x）x²e^-x，注意到在x=0的附近，恒有x²e^-x≥0，
故要使x=0为F（x）的极大值点，
必须h（0）=0（否则，若h（0）＞0，则在x=0的附近，恒有h（x），从而F′（x）≥0，
于是x=0不是F（x）的极值点，同理，若h（0）＜0，是x=0也不是F（x）的极值点），
即3a-$\frac{1}{2}$=0，从而a=$\frac{1}{6}$，
又当a=$\frac{1}{6}$时，F′（x）=-$\frac{1}{6}$x³e^-x，
则在（-∞，0）上，F′（x）＞0，在（0，+∞）上，F′（x）＜0，
于是F（x）在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减，
故F（x）_max=F（0）=1，
综上所述a的值为$\frac{1}{6}$

点评 本题考查了导数的几何意义和导数的最值的应用，考查了转化能力，运算能力，属于难题．