Question

已知圆C的圆心为点C（1，0），且与直线x+y-3=0相切，是否存在经过点P（-1，0）的直线l，使得直线l与圆C相交于A，B两点，切线AB的中点Q到原点O 与圆心C的距离相等．若存在，求出直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：先求出圆C：（x-1）²+y²=2，设方程为y=k（x+1），代入圆的方程，可得（1+k²）x²+（2k²-2）x+k²-1=0，求出Q的坐标，利用切线AB的中点Q到原点O与圆心C的距离相等，建立方程，即可求出直线l的方程．

解答： 解：∵圆C的圆心为点C（1，0），且与直线x+y-3=0相切，
∴r=

2

2

=

2

，
∴圆C：（x-1）²+y²=2，
由题意，直线的斜率存在，设为k，则方程为y=k（x+1），
代入圆的方程，可得（1+k²）x²+（2k²-2）x+k²-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2-2k2

1+k2

，y₁+y₂=

4k

1+k2

，
∴Q（

1-k2

1+k2

，

2k

1+k2

）
∴|QO|²=（

1-k2

1+k2

）²+（

2k

1+k2

）²=1
∴|QC|²═（

1-k2

1+k2

-1）²+（

2k

1+k2

）²=1
∴k=±

3

3

，
∴直线l的方程为y=±

3

3

（x+1）．

点评：本题考查直线与圆的性质的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．