Question

【题目】已知函数，其中．

（1）当时，求证：时，；

（2）试讨论函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当时，有两个零点；当时；有且仅有一个零点．

【解析】

试题分析：（1）首先将代入函数解析式，然后令，再通过求导得到的单调性，从而使问题得证；（2）首先求得，然后求得时的值，再对分类讨论，通过构造函数，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出函数零点的个数．

试题解析：（1）当时，令（），则，

当时，，，，此时函数递增，

当时，，当时，………①

（2）………②，令，得，，

（i）当时，，由②得……③

当时，，，，此时，函数为增函数，

时，，，时，，

故函数，在上有且只有一个零点；

（ii）当时，，且，

由②知，当，，，，

此时，；同理可得，当，；当时，；

函数的增区间为和，减区间为

故，当时，，当时，

函数，有且只有一个零点；

又，构造函数，，则

……④，易知，对，，函数，

为减函数，

由，知，……⑤

构造函数（），则，当时，，当

时，，函数的增区间为，减区间为，，

有，则，

，当时，……⑥

而……⑦

由⑥⑦知……⑧

又函数在上递增，

由⑤⑧和函数零点定理知，，使得

综上，当时，函数有两个零点，

综上所述：当时，函数有两个零点，

当时，函数有且仅有一个零点．