Question

【题目】设函数，其中．

（1）当时，求曲线 在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间与极值；

（3）已知函数有三个互不相同的零点，且．若对恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，并求，最后根据切点求切线方程；（2）求函数的导数，并分解因式，求得两个极值点，，判断极值点两侧的单调性并求得极值；（3）将函数零点转化为有两个不相等的零点，根据韦达定理，可得且，分，和，两种情况讨论，求得 取值范围.

试题解析：（1）当时，，

∴，∴切线方程为：；

（2）∵,

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴在处取得极小值，

在处取得极大值；

（3）由已知得：，∵有3个互不相同的零点，

∴有两个不相等的零点，

∴且，∴，又∵，

∴

①如果，∴，不合题意，

②如果，∵，

∴，，

∴，综上可得：．