Question

【题目】椭圆（）的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先设，然后根据离心率得到与的关系，再根据三角形面积取得最大值时点为短轴端点，由此求得的值，从而求得椭圆方程；（2）首先设出直线的方程，并联立椭圆方程，然后利用韦达定理结合向量数量积的坐标运算求得定值．

试题解析：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，

又面积取最大值时，即点为短轴端点，因此，解得，

则椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，，，联立可得

，则，，

直线的方程为，直线的方程为，

则，，

从而，，

则，

即为定值．