Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足6S_n+1=9a_n（n∈N⁺）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=

1

an

，证明：b₁+b₂+…+b_n＜

9

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据S_n与a_n的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式，利用等比数列的前n项和即可证明不等式b₁+b₂+…+b_n＜

9

2

．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，6a₁+1=9a₁，解得a₁=

1

3

，
当n≥2时，6S_n+1=9a_n ①，6S_n-1+1=9a_n-1 ②，
两式相减得6a_n=9a_n-9a_n-1，
即a_n=3a_n-1，
即{a_n}是首项a₁=

1

3

，公比q=3的等比数列，
则数列{a_n}的通项公式an=

1

3

•3n-1=3n-2；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=

1

an

，则b_n=

1

an

=(

1

3

)n-2，
则{b_n}是首项b₁=3，公比q=

1

3

的等比数列，
则b₁+b₂+…+b_n=

3(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

9

2

[1-(

1

3

)n]＜

9

2

．
即不等式成立．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和的计算，要求熟练掌握等比数列的相关公式．