Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{l{n}^{2}x+alnx+b，x＞0}\\{{e}^{x}+\frac{1}{4}，x≤0}\end{array}\right.$，且f（e）=f（1），f（e²）=f（0）+$\frac{11}{4}$，则不等式f（lnx）≥1的解集是（　　）

• A． {x|x$≥\frac{7}{4}$}
• B． {x|$\frac{3}{4}$≤x≤1}
• C． {x|$\frac{3}{4}$≤x≤$\frac{7}{4}$}
• D． {x|x≥$\frac{3}{4}$}

Answer 1

分析 由题意，$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=b}\\{4+2a+b=4}\end{array}\right.$，可得a=-1，b=2，再分类讨论，即可求出不等式f（lnx）≥1的解集．

解答 解：由题意，$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=b}\\{4+2a+b=4}\end{array}\right.$，∴a=-1，b=2，
lnx≤0，则x+$\frac{1}{4}$≥1，∴x≥$\frac{3}{4}$，∴$\frac{3}{4}$≤x≤1；
lnx＞0，f（lnx）=（lnlnx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$＞1恒成立，∴x＞1，
综上，x≥$\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查分段函数，考查求不等式f（lnx）≥1的解集，求出a，b是关键．