Question

16．设a∈R，f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式5f（x-x²）+3＜0；
（3）已知sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx．若关于x的函数f（x）=f（sinx+cosx）+f（b-sinxcosx）有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的性质结合f（0）=0进行求解即可．
（2）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化进行求解即可．
（3）根据函数与零点的关系，将函数转化为方程关系，利用三角函数以及换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的单调性求最值即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）是奇函数．
∴f（0）=0，即$\frac{2a-2}{1+1}=a-1=0$，
得a=1，即当a=1时f（x）为奇函数．
（2）∵a=1，∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
则不等式5f（x-x²）+3＜0等价为f（x-x²）＜-$\frac{3}{5}$；
∵f（2）=$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{2}+1}$=$\frac{3}{5}$，
∴不等式f（x-x²）＜-$\frac{3}{5}$等价为f（x-x²）＜-f（2）；
∵f（x）是奇函数，
∴不等式等价为f（x-x²）＜f（-2）；
∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴函数f（x）为增函数，
则不等式f（x-x²）＜f（-2）等价为x-x²＜-2，
即x²-x-2＞0，
解得x＞2或x＜-1；
即不等式的解集为（-∞，-1）∪（2，+∞）
（3）若关于x的函数f（x）=f（sinx+cosx）+f（b-sinxcosx）有零点，
即f（x）=f（sinx+cosx）+f（b-sinxcosx）=0有解，
即f（sinx+cosx）=-f（b-sinxcosx）=f（sinxcosx-b），
即sinx+cosx=sinxcosx-b，①
设t=sinx+cosx，则t²=1+2sinxcosx，
即sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∵t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴$-\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
则方程①等价为t=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-b，
即b=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-t=$\frac{1}{2}$（t-1）²-1，
∵$-\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
∴-1≤$\frac{1}{2}$（t-1）²-1≤$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，
即-1≤b≤$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$，
故实数b的取值范围是[-1，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式，判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将条件进行转化是解决本题的关键．