Question

【题目】图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．

解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，

如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，

根据勾股定理得a2+b2＝c2，

即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，

所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，

第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，

如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，

正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形B的面积，

正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，

所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，

…

以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，

第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．

故选：A．