Question

【题目】求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：

（1）椭圆的焦点在轴上，焦距为4，且经过点；

（2）双曲线的焦点在轴上，右焦点为，过作重直于轴的直线交双曲线于，两点，且，离心率为.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设出椭圆的标准方程，根据下焦点即可得知上焦点坐标，由椭圆定义即可求得a，结合焦距即可求得b，进而得到椭圆的标准方程。

（2）因为过右焦点F作垂直，即可表示出A、B两点的坐标及长度，进而根据求得a、b的关系，结合双曲线中a、b、c的关系即可求得a、b的值，进而求得双曲线的标准方程。

解：（1）设椭圆的标准方程为，

上焦点为，下焦点为，

根据椭圆的定义知，，即，

所以，

因此，椭圆的标准方程为

（2）设双曲线的标准方程为，

把带入双曲线方程，得，所以.

由，得.

所以，

所以双曲线的标准方程为.