题目内容
【题目】已知椭圆
： 
的离心率为
，且椭圆
过点
.过点
做两条相互垂直的直线
、
分别与椭圆
交于
、
、
、
四点.
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）若
， 
，探究：直线
是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可建立关于椭圆三个参数
的方程组进行求解，由离心率可得
，又点
在椭圆上，可得
，结合
，从而问题可得解.
（Ⅱ）由题意，可对直线
的斜率分“不存在与0”和“都存在且
”两种情况进行分类讨论，先对后一种情况探究，则可设两直线的方程分别为
， 
，逐个联立椭圆方程，分别计算
的中点
的坐标，从而求出直线
的方程，并求得其定点为
，再对前一种情况进行验证即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意知， 
，解得
，
故椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）∵
， 
，∴
、
分别为
、
的中点.
当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线
的方程为
，
则直线
的方程为
， 
， 
， 
， 
，
联立
，得
，∴
，
∴
， 
，∴
中点
的坐标为
；
同理， 
中点
的坐标为
，∴
，
∴直线
的方程为
，
即
，∴直线
过定点
；
当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线
的方程为
，也过点
；
综上所述，直线
过定点
.
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