Question

【题目】四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形， 为的中点， 为的中点.

（1）求证： ；

（2）求与平面所成的角.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】试题分析：（1）（1）连结PQ、AQ．菱形ABCD中证出AQ⊥CD，结合正三角形△PCD中PQ⊥CD，可得CD⊥平面PAQ，而PA平面PAQ，即可证出PA⊥CD．
（2）由， 可得平面，连接，则为与平面所成的角，利用边长求解即可.

试题解析：

（1）连接， .

∵是正三角形，∴.

∵底面是的菱形，∴.

又∵，∴ 平面.

∴.

（2）设平面，∵ ，∴ 平面.

又∵平面，平面平面，∴ ，

由于为的中点，∴为的中点.

又，∴ .

由（1）可知， ，

∴平面.

连接，则为与平面所成的角.

在中， ，

∴，∴ ， .∴.