Question

【题目】如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等， 分别为棱的中点.

（1）证明平面；

（2）证明平面平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）连接，根据平几知识得四边形为平行四边形，即得，根据线面平行判定定理得结论（2）先根据正三角形性质得，再根据线面垂直条件得，可得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论（3）过点作，则根据面面垂直性质定理得平面.即为直线与平面所成的角.最后通过解三角形得直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）证明：如图，在三棱柱中， ，且，连接，在中，因为分别为的中点，

所以且，

又因为为的中点，可得，且，即四边形为平行四边形，所以.

又平面， 平面，所以平面.

（2）证明：由于底面是正三角形， 为的中点，故，

又由于侧棱底面， 平面，所以，

又，因此平面，而平面，

所以平面平面.

（3）解：在平面内，过点作交直线于点，连接

由于平面平面，而直线是平面与平面的交线，故平面.由此得为直线与平面所成的角.

设棱长为，可得，由，易得.

在中， .所以直线与平面所成角的正弦值为.