Question

【题目】已知是定义域为上的函数，若对任意的实数，都有：成立，当且仅当时取等号，则称函数是上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数，都有：成立，当且仅当时取等号，设

（1）求证：是上的凸函数

（2）设，，利用凸函数的定义求的最大值

（3）设是三个内角，利用凸函数性质证明

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据定义证明 成立，利用三角函数和差化积公式进行证明．

（2）根据定义求最值直接套入凸函数的定义式中，易得函数的最大值．

（3）直接利用凸函数性质证明不等式即可，注意到中，，可证得结论成立．

（1）设，，则 ，

又

，又，

当且仅当时，，上式取得等号，

即成立，其中，，

上的凸函数.

（2）设，，

是上的凸函数；，，

由凸函数的定义得到，

的最大值为.

（3）在中，，

由凸函数的性质得到．

所以原不等式得证．