Question

8．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-（a+1）x+lnx$，$g（x）={x^2}-2bx+\frac{7}{8}$．
（1）当a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当$a=\frac{1}{4}$时，函数f（x）在（0，2]上的最大值为M，若存在x∈[1，2]，使得g（x）≥M成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数f′（x），分情况讨论：①a=0时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得f（x）的单调区间；②a≠0时，解方程f′（x）=0得x=1或x=$\frac{1}{a}$，按照1与$\frac{1}{a}$的大小讨论，根据f′（x）的符号即可求得其单调区间；
（2）当a=$\frac{1}{4}$时，借助（1）问单调性易求得M，存在x∈[1，2]，使g（x）≥-$\frac{9}{8}$，等价于g（x）_max≥-$\frac{9}{8}$，由二次函数的性质可得不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=ax-（a+1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$（x＞0），
①当a=0时，解f′（x）=-$\frac{x-1}{x}$＞0，得0＜x＜1，由f′（x）＜0，得x＞1，
所以函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为在（1，+∞）；
②a≠0时，令f'（x）=0得x=1或x=$\frac{1}{a}$，
i）当0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1，当x变化时f（x）、f′（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1））	1	（1，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增		减		增

函数f（x）的递增区间为（0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞），递减区间为（1，$\frac{1}{a}$）；
ii）当a＜0时，$\frac{1}{a}$＜0，
在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0，
所以函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
（2）由（1）知，当a=$\frac{1}{4}$时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，
所以M=f（1）=-$\frac{9}{8}$，
存在x∈[1，2]，使g（x）≥-$\frac{9}{8}$，即存在x∈[1，2]，使x²-2bx+$\frac{7}{8}$≥-$\frac{9}{8}$，
只需函数g（x）在[1，2]上的最大值大于等于-$\frac{9}{8}$，
所以有 $\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥-\frac{9}{8}}\\{g（2）≥-\frac{9}{8}}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{1-2b+\frac{7}{8}≥-\frac{9}{8}}\\{4-4b+\frac{7}{8}≥-\frac{9}{8}}\end{array}\right.$，解得：b≤$\frac{3}{2}$，
所以b的取值范围是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值等知识，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，把存在性问题转化为最值问题是解决（2）问的关键．