题目内容

设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调可导函数．已知对于任意正数x，都有 $数学公式$ ，且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f（a+2），并求a的值；
（Ⅱ）令 $数学公式$ ，证明：数列{a_n}是等差数列．

解：（Ⅰ）取x=1，则 $\text{[math]}$ ；
再取x=a+2，则 $\text{[math]}$
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数∴ $\text{[math]}$ ，
解之得：a=2，或a=-1（舍去）．
（Ⅱ）取x=n，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
再取 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数
∴ $\text{[math]}$ ，即2a_n²+na_n-n²=0
解之得： $\text{[math]}$ ，或a_n=-n（舍去）
又 $\text{[math]}$ （常数）n∈N^*
所以，数列{a_n}是等差数列．
分析：（Ⅰ）对x进行赋值，先取x=1，然后取x=a+2，建立等量关系，最后根据单调性建立关于a的方程，解之即可；
（Ⅱ）对x进行赋值，先取x=n，然后取x= $\text{[math]}$ ，建立等量关系，最后根据单调性建立关于a_n的方程，求出a_n，再根据等差数列的定义进行判定即可．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及等差数列的求和等有关知识，属于中档题之列．