Question

6．已知cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，则cos2x=$-\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（x+$\frac{π}{4}$）的值，进而利用两角差的余弦函数公式可求cosx的值，根据二倍角的余弦函数公式即可得解cos2x的值．

解答 解：∵$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{5π}{3}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2π，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosx=cos[（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（x+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴cos2x=2cos²x-1=$-\frac{24}{25}$．
故答案为：$-\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．