题目内容

设F1，F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当
|PF1|2
|PF2|
最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是
 
．
分析：由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，∴|PF2|=2a+|PF1|，∴
|PF2|2
|PF1|
=
(2a+|PF1|)2
|PF1|
=
4a2
|PF1|
+4a+|PF1| ≥8a．
当且仅当
4a2
|PF1|
=|PF1|，即||PF1|=2a时取得等号．然后利用焦半径公式可以导出该双曲线离心率e的取值范围．
解答：解：由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，
∴|PF2|=2a+|PF1|，
∴
|PF2|2
|PF1|
=
(2a+|PF1|)2
|PF1|
=
4a2
|PF1|
+4a+|PF1| ≥8a．
当且仅当
4a2
|PF1|
=|PF1|，即||PF1|=2a时取得等号．
设P（x0，y0），（x0≤-a）
依焦半径公式得：|PF1|=-e×x0-a=2a，
∴e•x0=-3a，∴e=-
3a
x0
≤3
又∵e＞1，故e∈（1，3]
答案：（1，3]．
点评：本题考查双曲线的定义、焦半径、离心率、均值不等式，解题时要注意公式的合理选用．
练习册系列答案
相关题目
设F1和F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）
A、
3
2
B、2
C、
5
2
D、3
设F1、F2为双曲线
x2
sin2θ
-
y2
b2
=1（0＜θ≤
π
2
，b＞0）的两个焦点，过F1的直线交双曲线的同支于A、B两点，如果|AB|=m，则△AF2B的周长的最大值是（　　）
A、4-mB、4
C、4+mD、4+2m
设F1和F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为
2
2
．
以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为
10
-
2
2
10
-
2
2
；设F1和F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为
2
2
；经过抛物线y=
1
4
x2的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若y1+y2=5，则线段AB的长等于
7
7
．
设F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若
PF12PF2
的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是
（1，3]
（1，3]
．

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