Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足T_n=3b_n-2．
（1）求a_n和b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项之和A_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，及a_n＞0可求得S_n，再由a_n与S_n的关系可求a_n；由b_n=T_n-T_n-1可得{b_n}的递推式，由递推式可求得b_n；
（2）利用错位相减法即可求得A_n．

解答： 解：（1）∵S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，及a_n＞0，得Sn=n2+n，
∴n=1时，a₁=S₁=2，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n．
∴a_n=2n（n≥1），
又T_n=3b_n-2，得b_n=3b_n-3b_n-1，
∴2b_n=3b_n-1（n≥2），
又b₁=3b₁-2，∴b₁=1，
bn=(

3

2

)n-1．
（2）∵A_n=2+4×

3

2

+6×(

3

2

)2+…+2n(

3

2

)n-1，
∴

3

2

An=2×

3

2

+4×(

3

2

)2+6×(

3

2

)3+…+2n(

3

2

)n，
两式相减得，-

1

2

An=2+2×

3

2

+2×(

3

2

)2+…+2×(

3

2

)n-1-2n(

3

2

)n=

2[( 3 2 )n-1]

3 2 -1

-2n(

3

2

)n，
∴A_n=（4n-8）•(

3

2

)n+8．

点评：该题考查等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力，错位相减法是高考考查的重点内容，要熟练掌握．