题目内容

13．证明函数f（x）=$\frac{2x+1}{x-1}$在（1，+∞）上的单调性．

分析 直接利用函数的单调性的定义，证明函数的单调性即可．

解答 证明：$f（x）=\frac{2x+1}{x-1}=\frac{{2（{x-1}）+3}}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$
任取1＜x1＜x2，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=2+\frac{3}{{{x_1}-1}}-2-\frac{3}{{{x_2}-1}}$=$\frac{{3（{{x_2}-{x_1}}）}}{{（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）}}$
∵1＜x1＜x2，∴x2-1＞x1-1＞0x2-x1＞0
∴$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．

点评 本题考查函数的单调性的定义的应用，考查计算能力．

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