Question

10．已知x，y满足-$\frac{π}{2}$＜y＜0$＜x＜\frac{π}{2}$，且cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos（x+$\frac{y}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（$\frac{π}{4}$+x）和sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（x+$\frac{y}{2}$）=cos[（$\frac{π}{4}$+x）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）]的值．

解答 解：x，y满足-$\frac{π}{2}$＜y＜0$＜x＜\frac{π}{2}$，且cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得$\frac{π}{4}$+x 和$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$都是锐角，
∴sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos（x+$\frac{y}{2}$）=cos[（$\frac{π}{4}$+x）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）]=cos（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）
=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．