Question

设数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求实数a的值；
（Ⅱ）试问数列{

an

2n

-

1

2

}能否为等比数列．若是等比数列，请写出相应数列{a_n}的通项公式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，对n取值，再利用a₁，a₂，a₃成等差数列，即可求实数a的值；
（Ⅱ）条件等价于

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，故若{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

为首项，-1为公比的等比数列，则必须首项不为0，从而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴a₂+2a₁=2²，a₃+2a₂=2³，
∴a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，∴2（-2a+4）=a+4a，∴a=

8

9

（4分）
（Ⅱ）因为an+1+2an=2n+1(n∈N*)，所以

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，（6分）
得：

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，故若{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

为首项，-1为公比的等比数列，则必须a≠1．
故a≠1时，数列{

an

2n

-

1

2

}为等比数列，此时an=2n[

1

2

+(

a

2

-

1

2

)•(-1)n-1]，否则当a=1时，数列{

an

2n

-

1

2

}的首项为0，该数列不是等比数列．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判断，考查学生的计算能力，属于中档题．