Question

6．若数对（a，b）（a＞1，b＞1，a，b∈N^*），对于?m∈Z，?x，y∈Z，使m=xa+yb成立，则称数对（a，b）为全体整数的一个基底，（x，y）称为m以（a，b）为基底的坐标；
（Ⅰ）给出以下六组数对（2，3），（2，5），（2，6），（3，5），（3，12），（9，17），写出可以作为全体整数基底的数对；
（Ⅱ）若（a，b）是全体整数的一个基底，对于?m∈Z，m以（a，b）为基底的坐标（x，y）有多少个？并说明理由；
（Ⅲ）若（2，m）是全体整数的一个基底，试写出m的所有值，并说明理由．

Answer 1

分析 （ I）利用基底的定义可知：a，b互质可以作为一个基底．
（ II）m以（a，b）为基底的坐标（x，y）有无数个．若（a，b）为基底，对于?的整数m，?x₀，y₀∈Z，使m=x₀a+y₀b成立，可得（x₀+kb，y₀-kb），k∈Z，都是数m以（a，b）为基底的坐标．利用等腰证明即可．
（ III）m=2k+1，k∈N^*，理由如下：首先，对任意m=2k，k∈N^*，（2，m）不是全体整数的一个基底；利用反证法即可证明．利用定义即可证明，对所有满足题意的正奇数，对任意m=2k+1，k∈N^*，（2，2k+1）是全体整数的一个基底．

解答 解：（ I）利用基底的定义可知：a，b互质可以作为一个基底，因此（2，3），（2，5），（3，5），（9，17）符合条件．
（ II）m以（a，b）为基底的坐标（x，y）有无数个． 
∵（a，b）为基底，对于?的整数m，?x₀，y₀∈Z，使m=x₀a+y₀b成立，
即（x₀，y₀）为数m以（a，b）为基底的坐标，则（x₀+kb，y₀-kb），k∈Z，都是数m以（a，b）为基底的坐标，
证明如下：（x₀+kb）a+（y₀-ka）b=x₀a+y₀b+kba-kba=m，
∴（x₀+kb，y₀-ka），k∈Z，都是数m以（a，b）为基底的坐标，有无数个．
（ III）m=2k+1，k∈N^*，理由如下：
首先，对任意m=2k，k∈N^*，（2，m）不是全体整数的一个基底；反证法，
假设此时（2，m）是全体整数的一个基底，则?x，y∈Z，有1=2x+my成立，
而数2，m都为偶数，所以2x+my为偶数，不可能等于1，所以假设不成立，即对任意m=2k，k∈N^*，（2，m）不是全体整数的一个基底．
下面证明，对所有满足题意的正奇数，对任意m=2k+1，k∈N^*，（2，2k+1）是全体整数的一个基底．
∵1=-k×2+1×（2k+1），即（-k，1）为数1以（2，2k+1）为基底的坐标，对于?m∈Z，显然（-km，m）为数m以（2，2k+1）为基底的坐标，即?-km，m∈Z，使m=-km×2+m×（2k+1）成立，即对任意m=2k+1，k∈N^*，（2，2k+1）是全体整数的一个基底．

点评 本题考查了新定义数对基底、反证法，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．