题目内容

4．为了满足社区居民健身活动，某社区准备在一块大约400m×400m的接近正方形荒地上建一个健身活动广场，首先要建设如图所示的一个总面积为4000m2的矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为健身运动场地（其中两个小场地形状相同），怎样设计矩形场地的长和宽，使塑胶运动场地占地面积最大，并求出最大值．

分析 设矩形场地的长为xm，宽为ym，塑胶运动场地占地面积设为Sm2，总面积为xy=4000，且2a+6=x，a=$\frac{x-6}{2}$，y=$\frac{4000}{x}$，从而运动场占地面积为S=（y-4）a+（y-6）a=（2y-10）a=（x-6）（$\frac{4000}{x}$-5），由a＞0，可得x＞6，$\frac{4000}{x}$-5＞0，可得x＜800．其定义域是（6，800）．则S=4030-（5x+$\frac{24000}{x}$），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x，y的值．

解答 解：设矩形场地的长为xm，宽为ym，塑胶运动场地占地面积设为Sm2，
即有xy=4000，y=$\frac{4000}{x}$，
S=（y-4）a+（y-6）a=（2y-10）a，
由2a+6=x，可得a=$\frac{x-6}{2}$，S=（$\frac{8000}{x}$-10）•$\frac{x-6}{2}$=（x-6）（$\frac{4000}{x}$-5），
由a＞0，可得x＞6，$\frac{4000}{x}$-5＞0，可得x＜800．
其定义域是（6，800）．
则S=4030-（5x+$\frac{24000}{x}$）≤4030-2$\sqrt{5x•\frac{24000}{x}}$=4030-400$\sqrt{3}$，
当且仅当5x=$\frac{24000}{x}$，即x=40$\sqrt{3}$∈（6，800）时，上述不等式等号成立，
此时x=40$\sqrt{3}$，y=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$，Smax=4030-400$\sqrt{3}$．
答：设计x=40$\sqrt{3}$m，y=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$m时，运动场地面积最大，最大值为4030-400$\sqrt{3}$平方米

点评 本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．

练习册系列答案
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