Question

已知首项都是1的数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）满足b_n+1=

an+1bn

an+3bn

（Ⅰ）令c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}为各项均为正数的等比数列，且b₃²=4b₂•b₆，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得a_n+1b_n=a_n•b_n+1+3b_n•b_n+1，从而

an+1

bn+1

=

an

bn

+3，由此推导出数列{c_n}是首项为1，公差为3的等差数列，进而求出c_n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N^*．
（Ⅱ）设数列{b_n}的公比为q，q＞0，由已知得bn=(

1

2

)n-1，n∈N^*，从而a_n=c_nb_n=(3n-2)×(

1

2

)n-1，由此利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得a_n+1b_n=a_n•b_n+1+3b_n•b_n+1，
两边同时除以b_nb_n+1，得

an+1

bn+1

=

an

bn

+3，
又c_n=

an

bn

，
∴c_n+1-c_n=3，
又c1=

a1

b1

=1，
∴数列{c_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴c_n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N^*．

（Ⅱ）设数列{b_n}的公比为q，q＞0，
∵b32=4b2•b6，
∴b12q4=4b12•q6，
整理，得q2=

1

4

，∴q=

1

2

，又b₁=1，
∴bn=(

1

2

)n-1，n∈N^*，
a_n=c_nb_n=(3n-2)×(

1

2

)n-1，
∴S_n=1×(

1

2

)0+4×(

1

2

)+7×(

1

2

)2+…+(3n-2)×(

1

2

)n-1，①
∴

1

2

Sn=1×

1

2

+4×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+(3n-2)×(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Sn=1+3×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+3×(

1

2

)n-1-（3n-2）×(

1

2

)n
=1+3[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（3n-2）×(

1

2

)n
=1+3[1-(

1

2

)n-1]-(3n-2)×(

1

2

)n
=4-（6+3n-2）×(

1

2

)n
=4-（3n+4）×（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=8-（6n+8）×(

1

2

)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．