Question

已知非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，1），且a_n=（x_n，y_n）=（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1） （n＞1，n∈N），令|a_n|=b_n．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）对n∈N*，设c_n=b_nlog₂b_n，试问是否存在正整数m，使得c_m＜c_m+1？若存在，请求出m的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）要证数列b_n为等比数列，利用了等比数列的定义，由题意找数列b_n和相邻项b_n+1的比为常数，并利用等比数列通项公式求其通项
（II）由题意应先求出c_n，由题意在建立c_n与c_n+1之间的不等关系，利用作差的等价转化思想求解关于m不等式，再利用m的范围逼出m的最小值
解答：（I）证明：b_n=|a_n|=，
b_n+1=|a_n+1|=，
∴（常数），
∴{b_n}是等比数列，其中b₁=|a₁|=，公比，
∴．（5分）

（II）∵，
∴，
于是=，（8分）
∵，
∴要使c_m+1＞c_m，只须使，即，
解得．（11分）
∵m是正整数，
∴m≥5，m∈N^*，
∴m的最小值为5．（12分）
点评：（I）此问重在考查等比数列的定义及等比数列的通项公式
（II）此处重在考查了对数的运算性质进而准确求出c_n的通项，之后又考查了建立m的不等式及解不等式