Question

已知非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，1），且a_n=（x_n，y_n）=

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1） （n＞1，n∈N），令|a_n|=b_n．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）对n∈N*，设c_n=b_nlog₂b_n，试问是否存在正整数m，使得c_m＜c_m+1？若存在，请求出m的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）要证数列b_n为等比数列，利用了等比数列的定义，由题意找数列b_n和相邻项b_n+1的比为常数，并利用等比数列通项公式求其通项
（II）由题意应先求出c_n，由题意在建立c_n与c_n+1之间的不等关系，利用作差的等价转化思想求解关于m不等式，再利用m的范围逼出m的最小值

解答：（I）证明：b_n=|a_n|=

x 2 n + y 2 n

，
b_n+1=|a_n+1|=

x 2 n+1 + y 2 n+1

=

( xn-yn 2 )2+( xn+yn 2 )2

=

1 2 ( x 2 n + y 2 n )

，
∴

bn+1

bn

=

2

2

（常数），
∴{b_n}是等比数列，其中b₁=|a₁|=

2

，公比q=

2

2

，
∴bn=

2

•(

2

2

)n-1=2

2-n

2

．（5分）

（II）∵cm=2

2-m

2

log22

2-m

2

=

2-m

2

•2

2-m

2

，
∴cm+1=

2-(m+1)

2

•2

2-(m+1)

2

=

1-m

2

•2

1-m

2

，
于是cm+1-cm=

1-m

2

•2

1-m

2

-

2-m

2

•2

2-m

2

=2

1-m

2

(

1-m

2

-

2-m

2

•2

1

2

)，（8分）
∵2

1-m

2

＞0  (m∈N*)，
∴要使c_m+1＞c_m，只须使

1-m

2

＞

2-m

2

•2

1

2

，即1-m＞

2

(2-m)，
解得m＞

2 2 -1

2 -1

=3+

2

＞4.414．（11分）
∵m是正整数，
∴m≥5，m∈N^*，
∴m的最小值为5．（12分）

点评：（I）此问重在考查等比数列的定义及等比数列的通项公式
（II）此处重在考查了对数的运算性质进而准确求出c_n的通项，之后又考查了建立m的不等式及解不等式