Question

（2011•重庆模拟）已知非零向量列{

an

}满足：

a1

=(1，1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（Ⅰ）证明：{|

an

|}是等比数列；
（Ⅱ）设bn=2-2lo

g

| an | 2

，pk=

b1b3…b2k-1

b2b4…b2k

(k∈N*)，求证：p1+p2+…+pn＜

2bn+1

-1．

Answer 1

分析：（I）要证数列{|

an

|}是等比数列，利用了等比数列的定义，由题意找数列|

an

|和相邻项|

an+1

|的比为常数，并利用等比数列通项公式求其通项
（II）由bn=2-2lo

g

| an | 2

，pk=

b1b3…b2k-1

b2b4…b2k

(k∈N*)，知bn=2-2log2(2

2-n

2

)=n，即pk=

b1b3…b2k-1

b2b4…b2k

(k∈N*)，由此能证明p1+p2+…+pn＜

2bn+1

-1．

解答：（I）证明：|

an

|=

x 2 n + y 2 n

，
|

an+1

|=

x 2 n+1 + y 2 n+1

=

( xn-yn 2 )2+( xn+yn 2 )2

=

1 2 ( x 2 n + y 2 n )

，
∴

| an+1 |

| an |

=

2

2

（常数），
∴{|

an

|}是等比数列，其中|

a1

|=

2

，公比 q=

2

2

，
∴|

an+1

| =

2

•(

2

2

)n-1=2

2-n

2

．（5分）
（II）∵设bn=2-2lo

g

| an | 2

，pk=

b1b3…b2k-1

b2b4…b2k

(k∈N*)，
∴bn=2-2log2(2

2-n

2

)=n，
∴pk=

b1b3…b2k-1

b2b4…b2k

(k∈N*)
=

1×3×5×…×(2k-1)

2×4×…×2k

，
∴p1+p2+…+pn＜

2bn+1

-1．

点评：（I）此问重在考查等比数列的定义及等比数列的通项公式．
（II）此处重在考查了对数的运算性质进而准确求出p_k的通项，之后又考查了建立m的不等式及解不等式．