Question

已知一非零向量列{

an

}满足：

a1

=(1，1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)  (n≥2)
（1）证明：{|

an

|}是等比数列；
（2）设θn=?

an

-1，

an

＞  (n≥2)，b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）先利用利用已知条件，利用向量的模的计算求得|

an

|=

2

2

|

an-1

|，根据等比数列的定义可推断出数列{|

an

|}是以

2

为首项，公比为

2

2

的等比数列
（2）利用向量的基本性质可求得cosθ_n的值，进而求得b_n，最后利用等差数列的求和公式求得答案．

解答：解：（l）∵|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

x2n-1+ y 2 n-1

=

2

2

|

an

-1|(n≥2)，
又|

a1

|=

2

∴数列{|

an

|}是以

2

为首项，公比为

2

2

的等比数列．

（2）∵

an

-1•

an

=(xn-1•yn-1)•

1

2

(xn-1-yn-1•xn-1+yn-1)=

1

2

(

x

2 n-1

+

y

2 n-1

)=

1

2

|

an

-1|2
∴cosθn=

an -1• an

| an -1|•| an |

=

2

2

，∴θn=?

an

-1，

an

＞=

π

4

，∴bn=2nθn-1=

nπ

2

-1Sn=b1+b2++bn=(

π

2

-1)+(

2π

2

-1)++(

nπ

2

-1)=

π

4

(n2+n)-n

点评：本题主要考查了等比数列的确定．考查了学生对数列基础知识的灵活运用．