Question

设x+y=1，x²+y²=2，求x⁷+y⁷的值．

Answer 1

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算

专题：计算题

分析：根据题意，由x+y=1，x²+y²=2，求出xy和x³+y³的值，：再由（x⁴+y⁴）（x³+y³）=x⁷+y⁷+x³y³（x+y）得出x⁷+y⁷的表达式，从而求出它的值．

解答： 解：∵x+y=1，x²+y²=2，
∴xy=-

1

2

，
∴x³+y³=（x+y）（x²+y²-xy）=1×（2+

1

2

）=

5

2

；
又∵（x⁴+y⁴）（x³+y³）=x⁷+y⁷+x³y³（x+y），
∴x⁷+y⁷=（x⁴+y⁴）（x³+y³）-x³y³（x+y）
=[（x²+y²）²-2x²y²]（x³+y³）-x³y³（x+y）
=（2²-2×(-

1

2

)2）×

5

2

-(-

1

2

)3×1
=

71

8

．

点评：本题考查了因式分解、完全平方式、立方和公式的应用问题，解题的关键是利用x⁴+y⁴、x³+y³表示出x⁷+y⁷，是基础题．