Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且有$\overrightarrow{IG}$=t$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，则椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），G为△F₁PF₂的重心，可得G$（\frac{{x}_{0}}{3}，\frac{{y}_{0}}{3}）$．由$\overrightarrow{IG}$=t$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，可得IG∥x轴，I的纵坐标为$\frac{{y}_{0}}{3}$，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），∵G为△F₁PF₂的重心，
∴G点坐标为 G$（\frac{{x}_{0}}{3}，\frac{{y}_{0}}{3}）$，∵$\overrightarrow{IG}$=t$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$，∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为$\frac{{y}_{0}}{3}$，
在焦点△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|，
又∵I为△F₁PF₂的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，
∴S△F1PF2=$\frac{1}{2}$•（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）$|\frac{{y}_{0}}{3}|$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y₀|，
（2a+2c）=3×2c，
∴2c=a，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．