题目内容

选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．
分析：A先根据条件得到DP2=DB•DC；进而得到△BDP∽△PDC即可得到结论；
B 先求出MN，再设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为（a，b）．根据矩阵变换得到即
x=2a
y=
1
2
b
，再代入原函数即可得到结论．
C 把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程可得分别表示圆和一条直线，利用点到直线的距离公式可得弦心距，最后结合弦长公式即可得到结论．
D 分情况去绝对值，分别求解即可．
解答：选做题
A．证明：因为PA与圆相切于A，
所以DA2=DB•DC，…（2分）
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP2=DB•DC，即
PD
DC
=
DB
PD
． …（5分）
因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，…（8分）
所以∠DPB=∠DCP．                  …（10分）
B．MN=
.
10
02
.
.
1
2
0
01
.
=
.
1
2
0
02
.
，…（4分）
设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为（a，b）．
则
.
1
2
0
02
.
.
x 
y 
.
=
.
a 
b 
.
，所以
a=
1
2
x
b=2y
即
x=2a
y=
1
2
b
       …（8分）
代入y=sinx得：
1
2
b=sin2a，即b=2sin2a．
即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y=2sin2x．  …（10分）
C．曲线C的极坐标方程ρ=
2
cos（θ+
π
4
）=cosθ-sinθ，
化为直角坐标方程为x2+y2-x+y=0，即（x-
1
2
）2+（y+
1
2
）2=
1
2
．…（3分）
直线L：
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
，（t为参数）可化为3x+4y+1=0，…（6分）
圆心到直线的距离d=
|3×
1
2
-4×
1
2
+1|
5
=
1
10
，…（8分）
弦长L=2
R2-d2
=
7
5
．．…（10分）
D．当x≥4时，2x+1-x+4＜2，解得x＜-3（舍去）；…（3分）
当-
1
2
≤x＜4时，2x+1+x-4＜2，解得x＜
5
3
，∴-
1
2
≤x＜
5
3
；…（6分）
当x＜-
1
2
时，-2x-1+x-4＜2，解得x＞-7，∴-7＜x＜-
1
2
．…（9分）
综上，不等式的解集为（-7，
5
3
）．…（10分）
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，简单的矩阵运算和绝对值不等式的解法，属于基础题．
练习册系列答案
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【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，
π
2
），若直线l过点P，且倾斜角为 
π
3
，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．
（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2
3
，OA=
3
OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x2+4xy+2y2=1在二阶矩阵M=
.
1a
b1
.
的作用下变换为曲线x2-2y2=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．
（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（B）（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量e=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M2．
（C）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．
 选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将选作标记用2B铅笔涂黑，每小题10分，共20分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
A、（选修4-1：几何证明选讲）
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB2=AE•AD
B、（选修4-2：矩形与变换）
已知a，b实数，如果矩阵M=
1a
b2
所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
D、（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．
选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB、AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．

B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R若矩阵M=
.
-1a
b3
.
所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．

C．选修4-4：坐标系与参数方程
将参数方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
（t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b是正数，求证：（a+
1
b
）（2b+
1
2a
）≥
9
2
．

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