Question

2．已知函数f（x）=$\frac{{2{e^x}}}{x}$．
（1）若曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为ax-y=0，求x₀的值；
（2）当x＞0时，求证：f（x）＞2x．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，结合切线方程求出x₀的值即可；（2）构造函数g（x），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而证出结论．

解答 解：（1）${f^，}（x）=2×\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}$，因为切线ax-y=0过原点，
所以$\frac{{{e^{x_0}}{x_0}-{e^{x_0}}}}{{{x_0}^2}}=\frac{{\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}}}{x_0}$，解得：x₀=2；
证明：（2）$设g（x）=\frac{f（x）}{2x}=\frac{e^x}{x^2}（x＞0），则{g^，}（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-2x}）}}{x^4}$，$令{g^，}（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-2x}）}}{x^4}=0$，解得x=2．
x在（0，+∞）上变化时，g，（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
g，（x）	-	0	+
g（x）	递减	$\frac{e^2}{4}$	递增

所以，当x=2时，g（x）取得最小值$\frac{e^2}{4}$，
所以，当x＞0时，$g（x）≥\frac{e^2}{4}＞1，即f（x）＞2x$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．