Question

13．已知函数f（x）的定义域为R，且对于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
（1）若x≥0时，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x，求不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集；
（2）若f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，求f（x）在区间[2015，2016]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意求出f（x）在定义域为R上的解析式，再求解f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集；
（2）由f（x+1）是偶函数，可得f（x）是周期为1的函数．当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，可以得出f（x）在区间[2015，2016]上的解析式．

解答 解：由题意：函数f（x）的定义域为R，且对于?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立．
∴f（x）是偶函数．
（1）当x≥0时，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x，
那么：x＜0时，则-x＞0，
f（-x）=（${\frac{1}{2}}$）^-x，
∵f（-x）=f（x），
故得x＜0时，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^-x，
∴f（x）在定义域为R上的解析式f（x）=$（\frac{1}{2}）^{|x|}$，
不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$转化为：$（\frac{1}{2}）^{|x|}＞（\frac{1}{2}）^{2}$，
∴|x|＜2，
解得：-2＜x＜2，
∴不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$的解集为{x|-2＜x＜2}．
（2）由f（x+1）是偶函数，可得f（x）是周期为1的函数．即f（x+1）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，
∵x∈[2015，2016]上，
那么：x-2015∈[0，1]上；
∴f（x）=2^x-2015；
故得f（x）在区间[2015，2016]上的解析式f（x）=2^x-2015；

点评 本题考查了函数的奇偶性的运用和周期函数解析式的求法．属于基础题．