Question

11．钝角△ABC中，（2sinC-1）•sin²A=sin²C-sin²B，则sin（A-B）=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，余弦定理整理可得ccosB=asinC，又由正弦定理解得sin（$\frac{π}{2}$-B）=sinA，可得$\frac{π}{2}$-B=A，或$\frac{π}{2}$-B+A=π，分类讨论可求A-B=$\frac{π}{2}$，利用特殊角的三角函数值即可求值得解．

解答 解：∵（2sinC-1）•sin²A=sin²C-sin²B，
∴由正弦定理可得：2sinC=$\frac{{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$+1=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴由余弦定理可得：2a²sinC=2accosB，可得：ccosB=asinC，
又∵由正弦定理可得：asinC=csinA，可得：ccosB=csinA，解得：cosB=sinA，即：sin（$\frac{π}{2}$-B）=sinA，
∴$\frac{π}{2}$-B=A，或$\frac{π}{2}$-B+A=π，
∵当$\frac{π}{2}$-B=A时，可得：$\frac{π}{2}$=B+A，C=π-（A+B）=$\frac{π}{2}$，三角形为直角三角形，与已知矛盾；
∴$\frac{π}{2}$-B+A=π，即：A-B=$\frac{π}{2}$，
∴sin（A-B）=1．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．