Question

2．有一幅图画挂在墙上，它的下方在观察者眼睛上方a米处，它的上方在观察者眼睛上方b米处．观察者离此画$\sqrt{ab}$米才能使得视角最大．

Answer 1

分析 作出图象，由题意可得OA=b，OB=a，设OM=x，∠OMA=α，∠OMB=β，由三角函数的定义可得tanα=$\frac{b}{x}$，tanβ=$\frac{a}{x}$，再由两角差的正切公式可得tan（β-α）=$\frac{tanβ-tanα}{1+tanβtanα}$=$\frac{\frac{a}{x}-\frac{b}{x}}{1+\frac{ab}{{x}^{2}}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$，由基本不等式可得．

解答 解：如图所示观察者在M处，A、B为画的下、上边缘，
由题意可得OA=b，OB=a，设OM=x，∠OMA=α，∠OMB=β，
则分别在直角三角形中可得tanα=$\frac{b}{x}$，tanβ=$\frac{a}{x}$，
∴tan（β-α）=$\frac{tanβ-tanα}{1+tanβtanα}$
=$\frac{\frac{a}{x}-\frac{b}{x}}{1+\frac{ab}{{x}^{2}}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$≤$\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$
当且仅当x=$\frac{ab}{x}$即x=$\sqrt{ab}$时取等号，
由∵y=tanx在（0，$\frac{π}{2}$）为增函数，
∴当x=$\sqrt{ab}$时，视角最大．
即观察者离此画$\sqrt{ab}$米时，才能使得视角最大．
故答案为：$\sqrt{ab}$

点评 本题考查基本不等式求最值的实际应用，涉及正切函数的单调性和两角差的正切公式，属中档题．考查学生的转化能力．