Question

10．如图，D、C是以AB为直径的⊙O上被AB分在同一侧上两点，$\widehat{DC}$=$\widehat{CB}$，对角线AC交BD于点E，AE=2EC=2．
（1）求证四边形ABCD为梯形；
（2）求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及相似三角形的性质，圆周角定理可知$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，从而可证∠DCA=∠CAB，进而得到DC∥AB，即可证明四边形ABCD为梯形．
（2）由已知及（1）可知，△COB为正三角形，∠CAO=30°，可求梯形的高h=ACsin∠CAO，进而由余弦定理DC，AB的值，利用梯形的面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）证明：过C点作CH∥DB，交AB延长线于H．（如图），连接OC，
∵△AEB≈△ACH，
∵BH：AB=EC：AE=1：2
∵BH=$\frac{1}{2}$AB，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{CB}$，
∴C是弧DB中点
∵∠DAB=∠COB （圆周角=$\frac{1}{2}$同弧圆心角），
∠DBA=∠CHO，
∵△ADB≌△OCH，
∵∠OCH=∠ADB=90°，
  CH为切线，
∵∠CHA=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$=∠DBA=$\widehat{AD}$，
∵D为劣弧AC的中点，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BC}$，
∵∠DCA=∠CAB，
∵DC∥AB，
∵四边形ABCD为梯形．
（2）∵由已知及（1）可知，△COB为正三角形，∠CAO=30°，
∴梯形的高h=ACsin∠CAO=（2+1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴设⊙O的半径为r，则在△AOC中，由余弦定理可得：9=r²+r²-2r²×（-$\frac{1}{2}$），解得：r=$\sqrt{3}$，
即可得：DC=$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$，
∴梯形面积S=$\frac{（\sqrt{3}+2\sqrt{3}）×\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质，圆周角定理，梯形的面积公式的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．