Question

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，有xf′（x）＞f（-x）恒成立，则满足3f（3）＞（2x-1）f（2x-1）的实数x的取值范围是（　　）

• A． （-1，$\frac{1}{2}$）
• B． （-1，2）
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （-2，1）

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和条件，通过导函数判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．

解答 解：∵f（x）是奇函数，
∴不等式xf′（x）＞f（-x），等价为xf′（x）＞-f（x），
即xf′（x）+f（x）＞0，
设F（x）=xf（x），
∴F′（x）=xf′（x）+f（x），
即当x∈[0，+∞）时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＞0，函数F（x）为增函数，
∵f（x）是奇函数，
∴F（x）=xf（x）为偶函数，∴当x＜0为减函数．
3f（3）＞（2x-1）f（2x-1）即不等式F（3）＞F（2x-1）等价为F（3）＞F（|2x-1|），
∴|2x-1|＜3，
∴-3＜2x-1＜3，
即-2＜2x＜4，
∴-1＜x＜2，
即实数x的取值范围是（-1，2），
故选：B．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．