Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB为正三角形，AB⊥AD，CD⊥AD，点E为线段BC的中点，F，G分别为线段PA，AE上一点，且AB=AD=2，PF=2FA．
（1）确定点G的位置，使得FG∥平面PCD；
（2）点Q为线段AB上一点，且BQ=2QA，若平面PCQ将四棱锥P-ABCD分成体积相等的两部分，求三棱锥C-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点M，连结ME，在线段AD上取一点N，使得DN=2AN，从而FN∥PD，当G为线段AE的靠近E的三等分点时，NG∥ME∥DC，由此求出G为线段AE的靠近E的三等分点，使得FG∥平面PCD．
（2）由V_C-DEF=V_F-CDE，能求出三棱锥C-DEF的体积．

解答 解：（1）G为线段AE的靠近E的三等分点，使得FG∥平面PCD．
证明如下：
取AD的中点M，连结ME，在线段AD上取一点N，使得DN=2AN，
∵PF=2FA，∴FN∥PD，则AN=$\frac{2}{3}$AM，
当G为线段AE的靠近E的三等分点时，AG=$\frac{2}{3}AE$，NG∥ME∥DC，
∵FN∩NG=N，∴平面FNG∥平面PCD，
∵FG?平面FNG，∴FG∥平面PCD．
（2）∵三棱锥P-BCQ与四棱锥P-ADCQ的高相同，
∴△BCQ与四边形ADCQ的面积相等，
设CD=x，则$\frac{1}{2}QB×AD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（CD+AB）×AD$，
∵BQ=$\frac{2}{3}×2=\frac{4}{3}$，∴$\frac{4}{3}=\frac{1}{2}×（x+2）$，解得x=$\frac{2}{3}$，
取AB中点O，∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，过F作FO′∥PO，交AB于O′，则FO′⊥平面ABCD，
∵PO=$\sqrt{3}$，PF=2FA，∴FO′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V_C-DEF=V_F-CDE=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{27}$．

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定与求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．