已知点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上的一点.且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.过点A任作两条直线l1.l2分别交椭圆于E.F两点.交y轴于M.N两点.E与M两个点不重合.且E.F关于原点对称．(1)求椭圆的方程,(2)以MN为直径的圆是否交x轴于定点Q?若是.求出点Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

9．已知点P（2，$\sqrt{2}$）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一点，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点A（-α，0）任作两条直线l₁，l₂分别交椭圆于E、F两点，交y轴于M，N两点，E与M两个点不重合，且E，F关于原点对称．
（1）求椭圆的方程；
（2）以MN为直径的圆是否交x轴于定点Q？若是，求出点Q的坐标；否则，请说明理由．

分析（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$c，即a²=2b²，将P（2，$\sqrt{2}$）代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
（2）设直线EF方程y=kx（k≠0），代入椭圆方程，求得点E坐标，求得直线AE方程方程，当x=0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，由$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{NQ}$=0，即可求得t值，求出点Q的坐标；

解答解：（1）椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$c，即a²=2b²，
将P（2，$\sqrt{2}$）代入$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，求得a²=8，b²=4，
∴椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）椭圆的左顶点（-2$\sqrt{2}$，0），由E，F关于原点对称，
设直线EF方程y=kx（k≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，则E（$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，$\frac{2\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$），
∴直线AE方程y=$\frac{k}{1+\sqrt{1+2{k}^{2}}}$（x+2$\sqrt{2}$），
当x=0，y=$\frac{2\sqrt{2}k}{1+\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
∴点M（0，$\frac{2\sqrt{2}k}{1+\sqrt{1+2{k}^{2}}}$），同理可知N（0，$\frac{2\sqrt{2}k}{1-\sqrt{1+2{k}^{2}}}$），
假设在x轴上存在顶点Q（t，0），则∠MQN为直角，
则$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{NQ}$=0，
即t²+$\frac{-2\sqrt{2}k}{1+\sqrt{1+2{k}^{2}}}$×$\frac{-2\sqrt{2}k}{1-\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=0，t²-4=0，
解得：t=2或t=-2，
故存在点Q（2，0）或Q（-2，0）以MN为直径的圆交x轴于此顶点．

点评本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．

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