Question

为了寻找马航残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且.现指挥部需要紧急征调位于港口正东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资供给科考船．该船沿方向全速追赶科考船，并在处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优.

（1）求关于的函数关系式；
（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？

Answer 1

（1）；（2）1400．

试题分析：（1）本题已知条件可以理解为是固定的，点也是不变，直线过点，要求面积的最小值，根据已知条件，我们用解析法来解题，以为坐标原点，向东方向为正半轴，向北方向为轴正半轴，建立直角坐标系，则可得直线的方程为，点坐标为，又有点坐标为，可得直线方程，它与直线的交点的坐标可解得，而，这样要求的表达式就可得；（2）在（1）基础上，，其最小值求法，把分式的分子分母同时除以，得，分母是关于的二次函数，最值易求.
试题解析：（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系， （1分）
则直线OZ的方程为，设点A（x₀，y₀），则，，即A（900，600），                （3分）
又B（m，0），则直线AB的方程为：，   （4分）
由此得到C点坐标为：， （6分）
  （8分）

（2）由（1）知  （10分）
  （12分）
所以当，即时，最小，
（或令，则
，当且仅当时，最小）
∴征调海里处的船只时，补给方案最优.        （14分）