Question

已知函数（为实常数）．
（1）若函数在区间上是增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；
（2）设，若不等式在有解，求的取值范围．

Answer 1

(1);(2)当时，；当时，．

试题分析：（1）任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，利用函数单调性的定义可知f（x₂）-f（x₁）＞0在区间[2，+∞）上恒成立，从而求出实数m的取值范围；（2）将不等式f（x）≤kx中的k分离出来，然后利用二次函数的性质研究不等式另一侧函数在[，1]上的最小值，从而求出k的取值范围．
（1）由题意，任取、，且，
则，    2分
因为，，所以，即，             4分
由，得，所以．所以，的取值范围是．  6分
（2）由，得，
因为，所以，                                    7分
令，则，所以，令，，
于是，要使原不等式在有解，当且仅当（）．    9分
因为，所以图像开口向下，对称轴为直线，
因为，故当，即时，；
当，即时，．                  13分
综上，当时，；
当时，．            14分．