Question

4．已知函数f（x）=x²+2sinθ•x-1，x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（1）当sinθ=-$\frac{1}{2}$时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是单调函数，且θ∈[0，2π），求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，根据二次函数的性质求出函数的最大值和最小值即可；
（2）求出函数的对称轴，根据函数f（x）的单调性，得到-sinθ≤-$\frac{1}{2}$或-sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而求出θ的范围即可．

解答 解：（1）当sinθ=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，
由x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值为-$\frac{5}{4}$，
当x=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有最大值-$\frac{1}{4}$；
（2）由已知f（x）=x²+2sinθ•x-1的图象的对称轴为x=-sinθ，
要使f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]上是单调函数，
则-sinθ≤-$\frac{1}{2}$或-sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即sinθ≥$\frac{1}{2}$或sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又θ∈[0，2π），
所以θ的取值范围是：[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]∪[$\frac{4π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及三角函数的性质，是一道中档题．