Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a（a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并指出其单调减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，

π

2

]上恰有两个x的值满足f（x）=2，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分15分）
（Ⅰ）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+a，
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）令u=2x+

π

6

，则g(u)=sinu+

1

2

+a，u∈[

π

6

，

7π

6

]．
要使g（u）在[

π

6

，

7π

6

]上恰有两个x的值满足g（u）=2，
则

g( π 6 )≤2 g( π 2 )＞2

，解得 

1

2

＜a≤1．