Question

16．设x₁、x₂分别是关于x的方程x²+mx+m²-m=0的两个不相等的实数根，那么过两点A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）的直线与圆（x-1）²+（y+1）²=1的位置关系是（　　）

• A． 相离
• B． 相切
• C． 相交
• D． 随m的变化而变化

Answer 1

分析 根据方程x²+mx+m²-m=0根的判别式大于0，算出0＜m＜$\frac{4}{3}$，由根与系数的关系算出x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m．再利用直线的斜率公式算出AB的斜率k=-m，利用中点坐标公式算出AB的中点为M（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{2}$m²+m），得出直线AB的方程为mx+y+m²-m=0．最后利用点到直线的距离公式，算出已知圆的圆心C到直线AB的距离小于圆C的半径，可得直线与圆的位置关系是相交．

解答 解：∵x₁、x₂是关于x的方程x²+mx+m²-m=0的两个不相等的实数根，
∴△=m²-4（m²-m）＞0，即0＜m＜$\frac{4}{3}$，且x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-m，
可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=-m²+2m，
因此，直线AB的斜率k=x₁+x₂=-m，
AB的中点为M（$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），$\frac{1}{2}$（x₁²+x₂²）），即M（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{2}$m²+m）
∴直线AB的方程为y-（-$\frac{1}{2}$m²+m）=-m（x+$\frac{1}{2}$m），化简得mx+y+m²-m=0
又∵圆（x-1）²+（y+1）²=1的圆心坐标为C（1，-1），半径r=1，
∴圆心C到直线AB的距离为d=$\frac{|{m}^{2}-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∵0＜m＜$\frac{4}{3}$，可得d=$\frac{|{m}^{2}-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$＜1，
∴圆心C到直线AB的距离小于圆C的半径，可得直线与圆的位置关系是相交．
故选：C．

点评 本题着重考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、点到直线的距离公式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．